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角不得不為此形之邊，故反取之而得焉。若三角有一正，除正角外，以一角之正弦為一率，又一角之餘弦為二率，半徑為三率，求得四率，為對又一角之邊餘弦。此其理亦系次形，而以正角及一角為次形之角，以又一角加減象限為次形對角之邊，取象稍異。

凡茲七術，惟邊角相求，有銳鈍、大小不能定者，然推步無其題，不備列。此七題中求邊角有未盡者，互按得之。

橢圓形者，兩端徑長、兩腰徑短之圓面。然必其應規，乃可推算。作之之術，任以兩點各為心，一點為界，各用一針釘之，圍以絲線，末以鉛筆代為界之。針引而旋轉，即成橢圓形。如圖甲己午三點，如法作之，為醜午巳未橢圓，寅醜、寅巳為大半徑，寅午、寅未為小半徑，寅甲為兩心差，己甲為倍兩心差。甲午數如寅巳，亦同寅醜，己午如之；二數相和，恆與醜巳同。令午針引至申，甲申、申己長短雖殊，共數不易。甲午同大半徑之數如弦，兩心差如勾，小半徑如股，但知兩數，即可以勾股術得不知之一數。若求面積，以平方面率四００００００００為一率，平圓面率三一四一五九二六五為二率，大小徑相乘成長方面為三率，求得四率為橢圓面積。若求中率半徑，大小半徑相乘，平方開之即得。然自甲心出線，離醜右旋，如圖至戌，甲醜、甲戌之間，有所割之面積，亦有所當之角度。

角積相求，爰有四術：

一曰以角求積，以半徑為一率，所知角度正弦為二率，倍兩心差為三率，求得四率為倍兩心差之端，垂線如己酉。又以半徑為一率，所知角度餘弦為二率，倍兩心差為三率，求得四率為界度積線，引出之線如甲酉，倍兩心差之端垂線為勾自乘。以引出之線，與甲戌、己戌和如巳醜大徑者相加為股弦和，除之得較。和、較相加折半為己戌弦，與大徑相減為甲戌線。又以半徑為一率，所知角正弦為二率，甲戌線為三率，求得四率為戌亥邊。又以小徑為一率，大徑為二率，戌亥邊為三率，求得四率為辰亥邊。又以大半徑寅辰同寅醜為一率，半徑為二率，辰亥邊為三率，求得四率為正弦，對錶得度。又以半周天一百八十度化秒為一率，半圓周三一四一五九二六為二率，所得度化秒為三率，求得四率為比例弧線。又以半徑為一率，大半徑為二率，比例弧線為三率，求得四率為辰醜弧線，與大半徑相乘折半，為寅辰醜分平圓面積。又以大半徑為一率，小半徑為二率，分平圓面積為三率，求得四率為寅戌醜分橢圓面積。乃以寅甲兩心差與戌亥邊相乘折半，與寅戌醜相減，為甲戌、甲醜之間所割面積。此其理具本圖及平三角、弧三角，其法至密。

二曰以積求角，以兩心差減大半徑餘得甲醜線自乘為一率，中率半徑自乘為二率，甲戌、甲醜之間面積為三率，求得四率為中率面積，如甲氐亢。分橢圓面積為三百六十度，取一度之面積為法除之，即得甲戌、甲醜之間所夾角度，此其理為同式形比例。然甲亢與甲氐同長，甲戌則長於甲醜，以所差不多，借為同數。若引戌至心，甲醜甲心所差實多，仍須用前法求甲戌線，借甲戌甲心相近為同數求之。

三曰借積求積，以所知面積，如圖之辛甲醜，用一度之面積為法除之，得面積之度。設其度為角度，於倍兩心差之端如庚己丑。以半徑為一率，己角正弦為二率，倍兩心差為三率，求得四率為甲子垂線。又以半徑為一率，己角餘弦為二率，倍兩心差為三率，求得四率為己子分邊。甲子為勾自乘，己子與大徑相減餘為股弦和，除之得股弦較。和、較相加折半得甲庚線。又以甲庚線為一率，甲子垂線為二率，半徑為三率，求得四率為庚角正弦，得度與己角相加為庚甲丑角。乃用以角求積法，求得庚甲醜面積，與辛甲醜面積相減餘如庚甲辛，又用以積求角法，求得度，與庚甲丑角相加，即得辛甲丑角。

四曰借角求角，以所知面積如前法取為積度，如醜甲丁。設其度為角度，於橢圓心如丁乙辛。以小半徑為一率，大半徑為二率，所設角度正切為三率，求得四率為丁乙癸角正切。對錶得度，乃於倍兩心差之端丙作丙醜線，即命醜丙甲角如癸乙丁之角度，乃將丙醜線引長至寅，使醜寅與甲醜等，則丙寅同大徑。又作甲寅線，成甲寅丙三角形，用切線分外角法求得寅角，倍之為甲丙醜形之丑角，與丙角相加為醜甲丁角。此其理癸乙甲角度多於醜甲丁積度，為子乙癸角度。即以此度當前之補算辛甲庚者，蓋所差無多也。

此四術內凡單言半徑者，皆八線表一千萬之數。圖形尚無資料

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