第121部分(第2/4 頁)

亦以度計。九十度為足，少於九十度為小，過九十度為大。其角銳、鈍、正與平三角等。算術有七：

一曰對邊求對角，以所知邊正弦為一率，對角正弦為二率，所知又一邊正弦為三率，求得四率，為所求對角正弦。此其理亦系兩次比例省為一次。如圖甲乙丙形，知甲乙、丙乙二邊及丙角，求甲角。作乙辛垂弧，半徑與丙角正弦之比，同於乙丙正弦與乙辛正弦之比。法當以半徑為一率，丙角正弦為二率，乙丙正弦為三率，求得四率，為乙辛正弦。既得乙辛正弦，甲乙正弦與乙辛正弦之比，同於半徑與甲角正弦之比。乃以甲乙正弦為一率，乙辛正弦為二率，半徑為三率，求得四率，為甲角正弦。然乘除相報，可省省之。

二曰對角求對邊，以所知角正弦為一率，對邊正弦為二率，所知又一角正弦為三率，求得四率，為所求對邊正弦。此其理反觀自明。

三曰兩邊夾一角，或銳或鈍，求不知之一邊。以半徑為一率，所知角餘弦為二率，任以所知一邊正切為三率，求得四率，命為正切。對錶得度，與所知又一邊相減，餘為分邊。乃以前得度餘弦為一率，先用邊餘弦為二率，分邊餘弦為三率，求得四率，為不知之邊餘弦。原角鈍，分邊大，此邊小；分邊小，此邊大。原角銳，分邊小，此邊小；分邊大，此邊大。此其理系三次比例省為二次。如圖甲丙丁形，知甲丙、甲丁二邊及甲角，中作垂弧丙乙，半徑與甲角餘弦之比，同於甲丙正切與甲乙正切之比。先一算為易明。既分甲丁於乙，而得丁乙分邊，甲乙餘弦與半徑之比，同於甲丙餘弦與丙乙餘弦之比。法當先以甲乙餘弦為一率，半徑為二率，甲丙餘弦為三率，求得四率，為丙乙餘弦。既得丙乙餘弦，半徑與乙丁餘弦之比，同於丙乙餘弦與丁丙餘弦之比。乃以半徑為一率，乙丁餘弦為二率，丙乙餘弦為三率，求得四率，為丁丙餘弦。然而乘除相報，故從省。兩邊夾一角若正，則徑以所知兩邊餘弦相乘半徑除之，即得不知邊之餘弦，理自明也。所知兩邊俱大俱小，此邊小；所知兩邊一小一大，此邊大。

四曰兩角夾一邊，求不知之一角。以角為邊，以邊為角，反求之；得度，反取之；求、取皆與半周相減。

五曰所知兩邊對所知兩角，或銳、或鈍，求不知之邊角。以半徑為一率，任以所知一角之餘弦為二率，對所知又一角之邊正切為三率，求得四率，命為正切，對錶得度。復以所知又一角、一邊如法求之，復得度。視原所知兩角銳、鈍相同，則兩得度相加；不同，則兩得度相減；皆加減為不知之邊。乃按第一術對邊求對角，即得不知之角。原又一角鈍，對先用角之邊大於後得度，此角鈍；對先用角之邊小於後得度，此角銳。原又一角銳，對先用角之邊小於後得度，此角鈍；對先用角之邊大於後得度，此角銳。此其理系垂弧在形內與在形外之不同，及角分銳鈍，邊殊大小，前後左右俯仰向背之相應。如圖甲乙丙形，甲乙二角俱銳，兩銳相向，故垂弧丙丁，從中取正，而在形內。己丙庚形，己庚二角俱鈍，兩鈍相向，故垂弧戊丙亦在形內。庚丙乙形，庚乙兩角，一銳一鈍相違，垂弧丙丁，從外補正，自在形外。在形內者判底邊為二，兩得分邊之度，如乙丁、丁甲，合而成一底邊如乙甲，故宜相加。在形外者，引底邊之餘，兩得分邊之度，如庚丁、乙丁，重而不揜，底邊如庚乙，故宜相減。銳鈍大小之相應，亦如右圖審之。所知兩邊對所知兩角有一正，則一得度即為不知之邊，理亦自明。

六曰三邊求角，以所求角旁兩邊正弦相乘為一率，半徑自乘為二率，兩邊相減餘為較弧，取其正矢與對邊之正矢相減餘為三率，求得四率，為所求角正矢。此其理在兩次比例省為一次。如圖甲壬乙形，求甲角，其正矢為醜丁。法當以甲乙邊正弦乙丙為一率，半徑乙己為二率，兩邊較弧正矢乙癸與對邊正矢乙卯相減餘癸卯同辛子為三率，求得四率為壬辛。乃以甲壬邊正弦戊辛為一率，壬辛為二率，半徑己丁為三率，求得四率為醜丁。甲角正矢亦以乘除相報，故從省焉。

七曰三角或銳、或鈍求邊，以角為邊，反求其角；既得角，復取為邊；求、取皆與半周相減。此其理在次形，如圖甲乙丙形，甲角之度為丁戊，與半周相減為戊己，其度必同於次形子辛午之子辛邊，蓋醜卯為乙之角度醜點之交，甲乙弧必為正角，丁戊為甲之角度戊點之交，甲乙弧亦必為正角。以一甲乙而交醜辛、戊辛二弧皆成正角，則二弧必皆九十度，弧三角之勢如此也。戊辛既九十度，子己亦九十度，去相覆之戊子，己戊自同子辛，於是庚癸必同子午，卯未必同午辛，理皆如是矣。而此形之餘角既皆為彼形之邊，彼形餘