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均點數可以看成是兩次扔一粒骰子所得到的平均數的和，也就是3。5＋3。5=7點。再通俗一點，假設ABC三個人同時扔骰子，A一次扔兩粒，B和C都一次扔一粒，那麼從長遠的平均情況來看，A得到的平均點數等於B和C之和。

但馮諾伊曼的假設就變味了。他其實是假定，任何一次我們同時扔兩粒骰子，它必定等於兩個人各扔一粒骰子的點數之和！也就是說只要三個人同時扔骰子，不管是哪一次，A得到的點數必定等於B加C。這可大大未必，當A擲出12點的時候，B和C很可能各只擲出1點。雖然從平均情況來看A的確等於B加C，但這並非意味著每回合都必須如此！

馮諾伊曼的證明建立在這樣一個不牢靠的基礎上，自然最終轟然崩潰。終結他的人是大衛&#8226；玻姆（David　Bohm），當代最著名的量子力學專家之一。玻姆出生於賓夕法尼亞，他曾在愛因斯坦和奧本海默的手下學習（事實上，他是奧本海默在伯克利所收的最後一個研究生），愛因斯坦的理想也深深打動著玻姆，使他決意去追尋一個回到嚴格的因果律，恢復宇宙原有秩序的理論。1952年，玻姆復活了德布羅意的導波，成功地創立了一個完整的隱函式體系。全世界的物理學家都吃驚得說不出話來：馮諾伊曼不是已經把這種可能性徹底排除掉了嗎？現在居然有人舉出了一個反例！

奇怪的是，發現馮諾伊曼的錯誤並不需要太高的數學技巧和洞察能力，但它硬是在20年的時間裡沒有引起值得一提的注意。David　Mermin挪揄道，真不知道它自發表以來是否有過任何專家或者學生真正研究過它。貝爾在訪談裡毫不客氣地說：“你可以這樣引用我的話：馮諾伊曼的證明不僅是錯誤的，更是愚蠢的！”

看來我們在前進的路上仍然需要保持十二分的小心。

*********飯後閒話：第五公設

馮諾伊曼栽在了他的第五個假設上，這似乎是冥冥中的天道迴圈，2000年前，偉大的歐幾里德也曾經在他的第五個公設上小小地絆過一下。

無論怎樣形容《幾何原本》的偉大也不會顯得過分誇張，它所奠定的公理化思想和演繹體系，直接孕育了現代科學，給它提供了最強大的力量。《幾何原本》把幾何學的所有命題推理都建築在一開頭給出的5個公理和5個公設上，用這些最基本的磚石建築起了一幢高不可攀的大廈。

對於歐氏所給出的那5個公理和前4個公設（適用於幾何學的他稱為公設），人們都可以接受。但對於第五個公設，人們覺得有一些不太滿意。這個假設原來的形式比較冗長，人們常把它改成一個等價的表述方式：“過已知直線外的一個特定的點，能夠且只能夠作一條直線與已知直線平行”。長期以來，人們對這個公設的正確性是不懷疑的，但覺得它似乎太複雜了，也許不應該把它當作一個公理，而能夠從別的公理中把它推匯出來。但2000年過去了，竟然沒有一個數學家做到這一點（許多時候有人聲稱他證明了，但他們的證明都是錯的）！

歐幾里德本人顯然也對這個公設感到不安，相比其他4個公設，第五公設簡直複雜到家了（其他4個公設是：1，可以在任意兩點間劃一直線。2，可以延長一線段做一直線。3，圓心和半徑決定一個圓。4，所有的直角都相等）。在《幾何原本》中，他小心翼翼地儘量避免使用這一公設，直到沒有辦法的時候才不得不用它，比如在要證明“任意三角形的內角和為180度”的時候。

長期的失敗使得人們不由地想，難道第五公設是不可證明的？如果我們用反證法，假設它不成立，那麼假如我們匯出矛盾，自然就可以反過來證明第五公設本身的正確性。但如果假設第五公設不成立，結果卻導致不出矛盾呢？

俄國數學家羅巴切夫斯基（N。　Lobatchevsky）正是這樣做的。他假設第五公設不成立，也就是說，過直線外一點，可以作一條以上的直線與已知直線平行，並以此為基礎進行推演。結果他得到了一系列稀奇古怪的結果，可是它們卻是一個自成體系的系統，它們沒有矛盾，在邏輯上是自洽的！一種不同於歐幾里得的幾何——非歐幾何誕生了！

從不同於第五公設的其他假設出發，我們可以得到和歐幾里得原來的版本稍有不同的一些定理。比如“三角形內角和等於180度”是從第五公設推出來的，假如過一點可以作一條以上的平行線，那麼三角形的內角和便小於180度了。反之，要是過一點無法作已知直線的平行線，結果就是三角形的內角