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８２＝８×８＝６４；
８３＝８×８×８＝５１２；
８４＝８×８×８×８＝４０９６。
這樣，我們就可以把７２９１寫為１×８４加上６×８３加上１×８２加上７×８１再加上３×８０。（請你們自己把這個數算出來，並看看所得出的答數。）如果只寫出各次冪所要乘的數字，它就應當是１６１７３。因此，我們可以說１６１７３（八進位制）＝７２９１（十進位制）。
八進位制的優點在於除了０以外，你只需記住七個數字。如果你想用數字８，那你可以寫出８×８３，而這就等於１×８４。因此，不管任何時候，你都可以用１來代替８。所以十進位制的８等於八進位制的１０；十進位制的８９等於八進位制的１３１，依次類推。但是，用八進位制時，一個數所用的總字數要比用十進位制時多。由此可見，基數越小，所用的不同數字越少，但總字數則越多。
當你用二十進位制時，７２９１這個數將成為１８×２０２加上４×２０１再加上１１×２００。在這種情形下，如果你把１８寫為＃，並把１１寫為％，你就可以說＃４％（二十進位制）＝７２９１（十進位制）。用二十進位制時你將不得不用１９個不同的數字，但是每一個數所用的總字數就會少些。
十進位制是一種很方便的進位制。用這種進位制時，既不必記住過多的數字，而且在寫一個數時，又可不必用過多的字數。
什麼是二進位制數呢？在二進位制的情況下，７２９１這個數等於１×２１２加上１×２１１加上１×２１０加上０×２９加上０×２８加上０×２７加上１×２６加上１×２５加上１×２４加上１×２３加上０×２２加上１×２１再加上１×２０。（請你們自己把這個數算出來，看看得出什麼結果。但要記住２９是９個２的乘積，亦即２×２×２×２×２×２×２×２×２＝５１２。）如果只寫出數字，那就是１１１０００１１１１０１１（二進位制）＝７２９１（十進位制）。
由於二進位制數只需要用兩個數字，即１和０，所以做加法和乘法演算特別簡單。但是即使一個很小的數，例如７２９１，也要用很多位數表示，因而很容易在我們頭腦中造成混亂。
但是，電子計算機則可以使用一個雙向開關。把開關撥向某一方向，即把電流接通時，它就代表１。把開關撥向另一方向，即把電流斷開時，它就代表０。這樣，透過操縱電路，使它根據二進位制的加法和乘法規則接通和斷開，計算機就能以非常快的速度進行算術演算。同按十進位制原理設計、用標有０到９的齒輪來進行演算的普通臺式計算器相比，它的演算速度要快得多。
第6節
大多數人最為熟悉的數有兩種，即正數（＋５，＋１７．５）和負數（－５，－１７．５）。負數是在中世紀出現的，它用來處理３－５這類問題。從古代人看來，要從三個蘋果中減去五個蘋果似乎是不可能的。但是，中世紀的商人卻已經清楚地認識到欠款的概念。“請你給我五個蘋果，可是我只有三個蘋果的錢，這樣我還欠你兩個蘋果的錢。”這就等於說：（＋３）－（＋５）＝（－２）。
正數及負數可以根據某些嚴格的規則彼此相乘。正數乘正數，其乘積為正。正數乘負數，其乘積為負。最重要的是，負數乘負數，其乘積為正。
因此，（＋１）×（＋１）＝（＋１）；（＋１）×（－１）＝（－１）；（－１）×（－１）＝（＋１）。2米2花2書2庫2 ；http：//www。7mihua。com
現在假定我們自問：什麼數自乘將會得出＋１？或者用數學語言來說，＋１的平方根是多少？
這一問題有兩個答案。一個答案是＋１，因為（＋１）×（＋１）＝（＋１）；另一個答案則是－１，因為（－１）×（－１）＝（＋１）。數學家是用√￣（＋１）＝±１來表示這一答案的。（碧聲注：（＋１）在根號下）
現在讓我們進一步提出這樣一個問題：－１的平方根是多少？
對於這個問題，我們感到有點為難。答案不是＋１，因為＋１的自乘是＋１；答案也不是－１，因為－１的自乘同樣是＋１。當然，（＋１）×（－１）＝（－１），但這是兩個不同的數的相乘，而不是一個數的自乘。
這樣，我們可以創造出一個數，並給它一個專門的符號，譬如說＃１，而且給它以如下的定義：＃１是自乘時會得出－１的數，即（＃１）×（＃１）＝（－１）。當這種想法剛提出來時，數學家都把這種數稱為“虛數”，