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人第二次問：“你們知道你們頭上的帽子的顏色嗎？”4個人又都說“不知道”。局外人第三次問：“你們知道你們頭上的帽子的顏色嗎？”4個人又說“不知道”。局外人又問第四次：“你們知道你們頭上的帽子的顏色嗎？”這時4個人均說：“知道了！”

你能知道，他們中有幾個人戴紅色的帽子？幾個人戴白色的帽子？

答案是，4個人都戴紅色的帽子。你知道為什麼嗎？

當局外人未宣佈“至少一個人戴的是紅帽子”時，這個事實其實每個人都知道了，因為每個人看到其他3個人的帽子都是紅色的。但這個事實在局外人未做宣佈之前儘管是這4個人的知識，但不是他們的公共知識。而當這個局外人做了宣佈了之後，“至少一個人帽子是紅色的”便成了公共知識。此時不僅每個人知道“至少一個人的帽子是紅色的”這個事實，每個人知道其他人知道這個事實……

如果只有1個人戴紅色的帽子，那麼，當局外人第一次問時，這個人因面對3個戴白色的帽子、必定知道自己的帽子顏色，他必定會回答“知道”。因此，當4個人第一次均回答“不知道”時意味著，4人中“至少有2人戴的是紅色的帽子”，而且這也成了新的公共知識。

當局外人第二次問時，因為上述推理，如果只有2人戴的是紅色的帽子，這2人就會回答說“知道”——因為他們各自面對的是1個戴紅色帽子的人，這戴紅色帽子的2個人馬上知道自己戴的是紅色的帽子。因此，局外人第二次問他們而他們回答“不知道”，此時，意味著，4人中“至少3個人戴紅色的帽子”，並且它也成了該群體新的公共知識。

同樣，當局外人第三次問時，他們回答的“不知道”，意味著4個人均戴的是紅色的帽子。此時，他們每個人都知道他們頭上都戴著紅色的帽子，並且這也是公共知識。

因此，當局外人第四次問時，他們4個人馬上說“知道”。

在這個過程中，當局外人首先宣佈“其中至少一個人的帽子是紅色的”，以及每次的回答（無論是回答“知道”還是“不知道”）構成該群體新的公共知識——構成所有人推理的前提。

這就是“帽子的顏色問題”。本人將這個問題簡化了。原來的問題是這樣的：有一個遊戲，有一個主持人和戴著兩種顏色帽子的一群人（假定有n人），每個人的帽子的顏色或者是紅色或者是白色，但這n個人不能看到自己的帽子的顏色卻看得到其他人的帽子的顏色。遊戲的主持人說：“你們中至少一個人的帽子是紅色的。”主持人開始一次次地問：“你們知道不知道自己的帽子的顏色？”現在的問題是：當主持人問到第幾次時，才有人說“知道”？並且多少人說“知道”？

據說，這個問題在20世紀曾風靡歐美。

皇帝新裝的新解讀

我們都熟悉安徒生的童話《皇帝的新裝》。

從前，一個皇帝愛穿漂亮的衣裳。有兩個騙子對皇帝說，他們能做出世界上最漂亮的衣服，這衣服不僅華麗，而且穿上它後能知道誰是愚蠢的人，因為愚蠢的人是看不見這衣服的。皇帝相信騙子的話，給了騙子許多金子，讓騙子開始織布。兩個騙子在織機旁煞有其事地忙碌著。皇帝派他的寵臣去看看工作的進度，然而他們驚呆了：天啊，我什麼也看不見！他們想，難道我是愚蠢的人？我不勝任自己現有的權位？這是多麼可怕的事啊！但好在其他人不知道。於是他們裝著看見的樣子，稱讚布料是多麼多麼的漂亮，騙子向他們描述布料的色彩和圖樣，他們點頭稱是。回去後，他們將騙子的話彙報給皇帝。皇帝親自來看衣服制作的進度，他也同樣被眼前的情景驚呆了，因為他什麼也沒看見！他當然看不見，因為確實什麼也沒有。皇帝也懷疑自己是愚蠢的人，但他想，千萬不能讓別人知道我看不見布，千萬不能讓我的臣民知道我是愚蠢的人，於是他也同樣誇讚起布來。

全城慶典的那天，騙子裝模作樣地趕製好了衣服，皇帝脫掉了他原來的衣服，騙子做出給皇帝穿衣服的樣子。當騙子給皇帝穿好所謂的“新衣服”後，皇帝步出宮殿，向他的臣民致意。皇帝在大街上被他的臣子們簇擁著行走，什麼也沒穿。他的臣民們都看著沒穿衣服的皇帝，然而他們怕別人知道自己是愚蠢的人，不敢承認自己沒有看到皇帝沒有穿衣服。

這時，一個小孩突然說：“其實皇帝什麼也沒穿啊！”這一聲無疑是晴天霹靂。老百姓開始議論紛紛，私下傳著這個天真無邪的小孩的話，人們開始相信小孩說的話是對的。皇帝也知道了老百姓