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仔細衡量一下，就會發現副總統這一票的重要性大致相當於任何一名參議員的投票。

一個理由在於，副總統的投票一般只在決定最重要和最具決定意義的議題時起作用。比如，老喬治·布什（George

Bush）作為副總統，曾經投票挽救了政府的化學武器計劃（兩次）和MX導彈計劃。這表明我們應該更仔細地研究一張選票究竟何時才會起作用。

一張選票可能有兩種效果：一是決定結果，二是成為影響勝利或失敗比數的一種“聲音”，卻不能扭轉結果。而在一個類似參議院這樣的決策團體裡，第一種效果更加重要。

為了說明副總統目前地位的重要性，我們設想副總統作為參議院主席得到了一張普通選票。什麼時候這張選票會有更大的影響力呢？若是決定重要的議題，所有100名參議員都會設法參加。①假如這100名參議員形成了51對49或比數更加懸殊的兩派，那麼，無論副總統投什麼票，結果都不會改變。結果取決於副總統這第101票的惟一機會在於，參議院分成了50對50的兩派，就像現在這樣，而只有副總統擁有惟一一張打破平局的選票。

①　對於一個參議員數目固定的參議院，出現50人投贊成票而另外50人投反對票的情況的最大機率等於（1/2）50　x　（　1/2）50

。用這個數目乘以從100人當中尋找50個支持者的方法總數，我們得到的結果大致等於1/12

。我們承認，上述關於副總統的選票影響力的描述，沒有將現實的各方面情況考慮在內。這些情況當中，有一些可以削弱副總統的影響力，有一些則相反。一個參議員的影響力大部分源於他們在各個委員會的工作，而副總統並未參與這些委員會。但是另一方面，副總統還有總統的否決權撐腰。

我們關於副總統的投票的討論，引出了一個應用範圍更廣泛的重要啟示：任何人的選票只在這一票形成或打破平局的時候可以影響結果。設想不同情況下你的選票究竟有多重要。你在一場總統選舉中究竟有多重要？在你們城市的市長選舉中呢？在自己參加的俱樂部秘書長選舉中呢？

就像參議院那樣，若是每一個投票者二擇其一的機率相等，那麼，出現其他選民形成平局而要由你這一票決定勝負的機率就會達到最大值。數學計算顯示，出現平局的機率與投票者數目的平方根成反比：投票者增加100萬倍，出現平局的機率就會減少1000倍。在參議院，共有100名投票者，我們知道，在最容易形成平局的情況下出現平局的機率約為1/12

。而在有1億選民參加的總統選舉中，這一機率就會降低到1/12000。由於我們採用的是選舉人團制度，你決定你所在州的選舉人的投票結果的機率大大增加。不過，人口很少大致平均分成兩派的事實卻引出了相反的結果，哪怕一個候選人或另一個候選人的微小優勢都能戲劇性地降低出現平局的機率。因此，你不妨認為這個1/12000的數字是你可以在一場總統選舉中發揮影響的機率的一個樂觀估計。鑑於這些情況，你究竟還值不值得花時間投票呢？

要想弄清這個問題，我們先舉一個具體例子。假定有一個候選人叫做“軟心腸先生”，他許諾要將最低工資從每小時3。50

美元提高為5。00美元，而另一個候選人叫做“硬心腸先生”，則反對提高最低工資。假定你恰好有一份只付最低工資的工作，每年工作2000小時，你希望可以在保住這份工作的前提下提高工資，那麼，“軟心腸先生”能為你的錢包帶來每年3000美元的增幅，“硬心腸先生”則做不到。4年時間這個數字就會變成12000美元。不過，你這一票可以帶來這個結果的可能性只有1/12000，因此你從你這一票可能得到的收益只有1美元。假如你必須犧牲哪怕20分鐘的有薪工作時間才能完成投票，那麼你的投票並不值得。調查發現，大多數人認為他們閒暇時間的價值只有有薪工作時間的一半。因此，若是閒暇時間參加投票，超過40分鐘就不值得了。

即便你不大可能改變投票結果，你仍然可以將你的聲音加人到群眾中去。不過，會不會有人聽到呢？雖然1億比0是一個一邊倒的勝利，卻沒有一個明顯的分界線，說明什麼時候只要一張選票改變立場就會導致一邊倒，從而取得勝利。還有，如果有足夠多的人改變立場，一邊倒的局勢就會轉為平局，繼而轉為失敗，最後變成完全相反的一邊倒。這個缺少分界線的理論可以追溯到希臘哲學家芝諾（Zeno）