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維的情況也是如此。我們可以描繪四維宇宙的彎曲幾何,不需要離開這個宇宙,也不需要參照什麼假想的更大空間,且看這是如何做到的。
彎曲空間的數學理論是在19世紀,主要由本哈·黎曼(Bernhard Riemann)發展出來的。即使是最簡單的情況,彎曲幾何的特性也是歐幾里德幾何完全沒有的。
再次考慮一個球面。這是一個二維空間,曲率為正值且均勻(各點都一樣),因為兩個曲率半徑都等於球面的半徑。連線球面上兩個分離點的最短路線是一個大圓的一段弧,即以球心為中心畫在球面上的一個圓的一部分。大圓之於球面正如直線之於平面,二者都是測地線,就是最短長度的曲線。一架不停頓地由巴黎飛往東京的飛機,最省時間的路線是先朝北飛,經過西伯利亞,再朝南飛,這才是最短程路線。由於所有大圓都是同心的,其中任何兩個都相交於兩點(例如,子午線相交於兩極),換句話說,在球面上沒有平行的“直線”。
已可看出歐幾里德幾何是被無情地踐踏了。熟知的歐氏幾何定律只能應用於沒有任何彎曲的平坦空間,一旦有任何彎曲,這些定律就被完全推翻了。球面最明顯的幾何性質是:與平面上直線的無限延伸不同,如果誰沿著球面上的直線(即沿著大圓)運動,他將總是從相反方向上回到出發點。因此,球面是有限的,或者說封
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