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在現實生活中這種變形之所以不可行是因為原子的體積不是無限小，數量不是無限大，但其幾何形狀確實可以這樣變形的。如果知道總是可以存在從一個幾何體的內部點一一對映到另一個的方法，也許這個悖論看上去就不那麼怪異了。例如兩個球可以雙射到其自身同樣級別的無限子集（例如一個球）。同樣我們還可以使一個球對映到一個大點或者小點的球，只要根據半徑放大係數即可將一個點對映到另一個。然而，這些變換一般來說不能保積，或者需要將幾何體分割成不可數無限塊。巴拿赫…塔斯基悖論出人意料的地方是僅用有限塊進行旋轉和平移就能完成變換。
使這個悖論成為可能的是無限的卷繞。技術上，這是不可測的，因此它們不具有“合理的”範圍或者平常說的“體積”。用小刀等物理方法是無法完成這種分割的，因為它們只能分割出可測集合。這個純粹存在性的數學定理指出在多數人熟悉的可測集合之外，還有更多更多的不可測集合。
對於三維以上的情形這個悖論依然成立。但對於歐幾里德平面它不成立。（以上敘述不適用於三維空間的二維子集，因為這個子集可能具有空的內部。）同時，也有一些悖論性的分解組合在平面上成立：一個圓盤可以分割成有限塊並重新拼成一個面積相同的實心正方形。參見塔斯基分割圓問題。
這個悖論表明如果等度分解的子集被認為�
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